题面
题目描述：
一个杠杆上的左右两侧各有 块质量相等的橡皮（杠杆最中间也有一块），随机从中拿走 块橡皮，可使杠杆依然平衡。求共有多少种拿走橡皮的方案数，答案对 取模。
题目简译：
从 中共选出 个互不相同的数，求使得正数与负数的和为零的方案数。
思路
前置知识：整数划分。
只考虑在杠杆的右侧选出 个数，题目就变成了经典的整数划分模型：
将 划分为 个互不相同且不大于 的正整数的方案数。
显然统计答案时，右侧选出 个数，那么左侧就选出 个数，乘法原理计算得到总方案数。
对于数字有大小限制的整数划分：
令 表示把 划分为 个数的方案：
则有 。
当 时，出现的不合法方案需要减掉：
此时 。
对于统计答案：
如上：枚举杠杆一侧选出 个数，另一侧就选出 个数，乘法原理计算。
特别注意：杠杆最中间也有一块橡皮，需要考虑是否将其拿走。
代码
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| #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<cstdlib>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
template <typename T>
inline void read(T&x){
int w=0;x=0;
char ch = getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') w=1;
ch = getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x = (x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch = getchar();
}
if(w) x=-x;
}
template <typename T,typename...Args>
inline void read(T&t,Args&...args){
read(t);read(args...);
}
const int N = 1e4+10,K = 15;
int n,k,p;
ll dp[N*K][K];
int main(){
int T;read(T);
while(T--){
read(n,k,p);
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0] = 1;
for(int i=0;i<=k*n;++i){
for(int j=1;j<=min(i,k);++j){
dp[i][j] = (dp[i][j]+dp[i-j][j]+dp[i-j][j-1])%p;
if(i>n) dp[i][j] = (dp[i][j]-dp[i-n-1][j-1]+p)%p;
}
}
ll ans = 0;
for(int j=0;j<=k;++j){
for(int i=0;i<=n*k;++i){
ans = (ans+dp[i][j]*dp[i][k-j])%p;
if(j<k) ans = (ans+dp[i][j]*dp[i][k-j-1])%p;
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
|